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Gambler’s Fallacy?

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更新:有一个错误,算 risk-adjusted 的 payoff,其实类似于 Sharpe Ratio, significantly different from zero 没有什么实际意义,至少要 significantly 大于 1 才算是 reasonable 的 strategy :) -- July 24, 2011

三月份的时候路过拉斯维加斯去国家公园旅行,发现了一种新的自动机械轮盘赌,虽然在停留时间短暂,但是仍然在这台机器上赚了不少钱,于是想到了一个古老的问题:Gambler’s Fallacy (GF)

举个 GF 的例子,譬如一个 fair coin (这个假设很重要),如果连续仍了10次,都是正面朝上,那么当我们扔第十一次的时候,是不是更可能出现背面呢?如果你认为背面出现的概率会更大一些,这就是 GF 了,因为基础的概率学告诉我们,每次投掷都是独立事件,第十一次投掷的结果正面和背面的概率仍然是相等的。

单单看这个例子本身没有什么太大的意思,但是同时我们从统计的角度看这个问题,因为大数定理的存在(i.e. 这个 process 是 mean reversion 的,你仍的次数足够的多,你的期望值趋近于 0.5 ),那很自然就会想到,如果我们不只是简单作单次的预测下注,而是从大量重复统计的角度上下注(赌反方向),那么我们的收益会不会比纯粹 uninformed 的投注(譬如随机投注,或者只压正面)要好?

需要强调的是,我们考虑的只是投注的策略,而不是做时间序列上的预测 (forecasting),因为就预测而言,这是一个明显的白噪声过程。也就是说我们只考虑一个策略优化问题。

当然这既是一个 theoretical 的问题,也是一个 empirical 的问题,我们偷懒的只从 empirical 的角度看这个问题。

我们把问题简单化,只关注简单策略,也就说我们的策略必须是能用大脑计算的,否则即便是你通过收集这个自动机械轮盘赌的数据,发现了这个机械的 idiosyncrasy 导致投掷的结果出现统计规律,能用譬如一个 exponentially weighted moving average (EWMA) 来预测,但是你如果不能快速心算出你的策略,这也是没有什么实际意义的。

我们考虑三种策略,前两种是 uninformed 的,也就是说策略是独立于你新获取的信息的,最后一种是 informed的,策略是基于新获取的信息的。

第一种策略称之为 Odd Even Strategy (OES),顾名思义,就是第一压正,第二次压反,第三次压正,重复直到赌博结束;

第二种策略称之为 Straight Bet Strategy (SBS),也就是不管怎样,都只压正(或者压反);

第三种策略称之为 Looking Back Strategy (LBS),每次压住前往前看 m 个 periods,given 一个 threshold value rho (0.5<rho=<1), 如果这 m 个 periods 的 average 大于 rho, 则压 1 (譬如 1 表示正面),对称的,如果 average 小于 1-rho,则压 0。 如果条件不满足,什么都不压。假定 m =10,我们向前追朔10个periods (同时也符合一般轮盘赌提供的历史数据),利用一些简单的optimization 和 calibration,  大概估算 rho= 0.618。

假设我们玩1000次,下注的时候每次下注 $1 ,我们的赌本是 $1000,三种策略的收益如下图:

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上图的收益并不能说明什么,只是一个 realization,但是相对而言,第三种策略的标准方差相对比较小,原因之一是因为第三种策略并不是每次都下注,如果把图放大其实可以看到蓝色线条有很多“平顶”,这是不下注的时候。

基于这三种策略,我们作一个简单的蒙特卡洛模拟,结果见下表:

  n=10^4 n=10^5  
  r-adj payoff sd r-adj payoff sd
 OES -0.01797056 0.02302582 -0.006824031 0.007238402
SBS -0.03311233 0.02290396 -0.01122852 0.007258676
 LBS 0.1144682 0.02278219 0.1226927 0.00721828

 

上面提到 r-adj payoff 指的是 risk-adjusted final net payoff, 它是用每1000次轮盘赌的最终净收益除以这1000次轮盘赌收益的标准方差得到的(类似计算 Sharpe Ratio 的算法),n=10^4 是1万次模拟的结果,n=10^5 是10万次模拟的结果。模拟的结果说明:

  1. Uniformed 的策略(OES,SBS)的风险调整净收益都不 significantly different from zero (at 5% significance level)。这和理论的预期是符合;
  2. Informed 的策略(LBS) 的风险调整净收益是正的并且significantly different from zero。

也就是说这样简单的informed的策略是能够带来正收益的。注意这个策略只是告诉你什么时候下注,和如何下注,把它和其他一些特定的投注策略(譬如 modified  martingale betting strategy)结合,应该能够提供一些可观的收益,所以我们在拉斯维加斯赢的钱也不完全是运气。

这个结果同时一些 empirical observation 项符合:1)这种机器不是在每个赌场都有,只有拉斯维加斯的 MGM才有;2)这个机器前排队的人很多;3)这个机器很容易坏。

离我们的比较近的 Atlantic City 没有这种机器,所以在那里赌博,只能靠运气了,不过上周的运气不错:

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哈哈,这样的小概率都让我撞上了,狗屎运:)

P.S. 这个问题也有很广泛的意思,譬如股票交易,比较 liquid 的股票的 log return 几乎肯定是一个白噪声(Fama 的 Efficient Market Theory,呵呵,不知道他什么时候能得诺奖),如果我们有 high frequency data,我们能否有一些策略,通过白噪声的 mean reversion 来获利?猜测是由于 transaction cost 的存在(bid-ask spread, commission fees) 上述 payoff 可能会小于零,因此没有太大的现实意义,但是赌博可以一试。

P.S. 希望上述的运算和模拟里面没有错误,有空会验算一下:)

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和蛋花坐飞机

总算忙完了搬家的一切,明天和蛋花一起坐飞机。因为下了飞机还要带着蛋花走街串巷,所以随身带的行李一减再减。家中的充气床又在不知情的情况下被蛋花用来练爪子,早已无法充气,所以足足睡了三天纸箱子铺地板。

蛋花从来没有出过大门,希望提着它穿过熙熙攘攘的闹市时它不会被吓破了胆。去petco买了软笼子装蛋花,这样它舒服点儿。这也是我第一次背着行李提着猫去旅行,买机票的时候才发现,蛋花的机票比我的还贵  -_-

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旧相识

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长周末,找了一处宁静的海滩。快到目的地的时候,途径一小片湖泊,很多天鹅在里面游弋,把车停在路边,和 LD 坐在长椅上看了一会儿天鹅,第一次见到这么多的天鹅。

走回车里,路过一户临水人家,芳草绿树,突然望到草地上一丛繁花,是牡丹!离家以后多少年都没有见过牡丹了,没想到在新泽西一处僻静小城的海岸边上看到了牡丹。如果没认错,应该是牡丹四大名品之一的赵粉(更喜欢它另外一个名字:冰凌罩红石)。

按家乡的节气,牡丹在谷雨前就该谢了,所以司马光老先生听说谷雨后仍有牡丹花开才会冒着雨乐此不疲的戴着蓑衣去看。现在即便是费尽力气延长花期,牡丹花会通常也在五月初就结束了,但是在美国竟然在小满之后还有牡丹花开,夏历四月的牡丹。这大概白乐天四月时看到山寺桃花也是一样的惊喜吧。也不单单是惊喜,牡丹,司马光,白居易,每一个符号都和家乡有着莫大的关系,好久没有回家了 ……

心里胡乱改了欧阳修的一句诗:“异乡物态与人殊,惟有牡丹旧相识。”又一想,《洛阳牡丹记》正是欧阳文忠公的手笔。

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新奥尔良流水帐 (2)

因为一个临时约定的面试,白天只好闷在旅馆里看书,虽然关于 survey 的东西以前多多少少的作过,后来在研究所也没少作 reweighting、imputation、linearization这些东西,但是毕竟不是最喜欢的,这个面试也有些鸡肋,但是不管怎样,既然约好了,就不能不准备一下,到了傍晚才有机会出门继续我的瞎逛。出门向右,几步外看到了一个招牌:

IMG_2016 原来这里就是臭名昭著的“联合水果公司”的原址。还记得高中政治课本里这个公司的恶名,几乎是新殖民主义的代名词。当然后来这间公司也知道自己名声不佳,现在它改名叫做 Chiquita 了,现在吃的香蕉多半还是它进口的,可怜的香蕉共和国们。

沿着 St Charles 街走,十字路口又看到了有轨电车,再加上背后的法式建筑,突然让人觉得有时光错乱的感觉,似乎是回到了三十年代上海的法租界,只是那位背着橙白相间书包的小姑娘有些不合拍,如果她穿着民国改良旗袍,就更完美了。

IMG_2018 穿过 Canal 大街,进入 French Quaters,街道两边的建筑都很有特色,特别是有镂空金属花纹修饰的阳台。街转角处还有一位黑人大叔在拉小提琴,长长的呜咽,单调的忧伤(语出自某id的签名档)。

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顺手在街边拿了一幅免费的地图,附近似乎有个 Jackson Square 是地标,于是游荡过去,一座公园,骑马的雕像,背后是教堂。

IMG_2027有人在吹长号,《Amazing Grace》 ,还没等我走过去,他的曲调已经有意无意的改变为 Jazz,顺着公园转了一个圈,街边看到了驴车,街对过有人在表演街头马戏。

IMG_2033穿过马戏的人群,是一个高台,上面立着一尊炮,某个角度看去,炮、骑士与教堂融为一体,似乎昭示着什么,幸好炮下玩耍的孩童给这幅画面添加了一些柔软色调。

IMG_2039  然后又到了密西西比河边,马克吐温 again,这次倒是想起他一句话,记得不完整,又 google 了一遍:

"Twenty years from now you will be more disappointed by the things that you didn't do than by the ones you did so." --Mark Twain

所以,做事情趁年轻,比如这个季节跳进密西西比河里游泳:

IMG_2042但是我没有去游泳,在此记下,看看二十年后会不会后悔。French Quater 其实也不大,很快就转了个遍,然后走进跟前的一间饭馆,一是因为它炖东西调料的气味确实诱人;二是因为它声称建于1803年,如果没记错,这一年美国从法国手里买了路易斯安娜。尝了一下新奥尔良当地流行的鸡尾酒 Hurricane,名字听起来很暴力,但是喝起来却很甜,甜到尝不出酒味了,只是到了最后,才有一点 rum 的味道;还尝了当地著名的 Creole Gumbo,是一种加了硬米饭的汤,汤里炖的有海鲜和蔬菜,味道还不错;主菜是 Seafood Platter,裹了面油炸的虾、软壳蟹、牡蛎还有鱼排,很奇怪的吃法。抬头看到了墙上橱窗里的霓虹灯广告: East Oyster, Love Longer

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新奥尔良流水账(1)

春天是开会的季节(夏天和秋天也是),没过破五,就到新奥尔良来了,Mardi Gras (狂欢节)刚结束,downtown的街道上能看到很多丢弃的闪光的塑料项链。中午到达,安顿好了旅馆,去领了大会的 name tag 和日程安排,熟悉的人基本上都没有来这次年会,不知道是不是因为过年的缘故,突然萌发了一种极其幼稚的想法 —— 我一个人的城市。

这种憧憬大概从小时候就有,到一个陌生的没有任何熟人的城市,走街串巷就像城市历险,但是从来都未曾如愿过,身边总有朋友或者亲人同行,这次倒实现了这样毫无意义的愿望。开会的宾馆里人声鼎沸,带着牌子的人三五成群的交谈;我拿了牌子就匆匆的离开,几步以外就是 River Walk,兴致勃勃的找了一位黑人大姐给我照相,照完了却找不到我在相片中的何处。

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爬上 River Walk 的台阶,几步远就看到了密西西比河,很宽阔,但是波澜不惊,像是一只慵懒的狗熊,河上有灯火辉煌的游船,想起了靠着这条河吃饭的马克吐温。回头看到一间叫做“疯狂龙虾”的饭店,想想也该吃晚饭了,就进门坐下,窗外是懒熊般的密西西比河。

IMG_2007 吃完了晚饭 shrimp pasta,继续瞎游荡,转过街角,看到了有轨电车,和在三藩看过的“叮当车”有点像,但是这个是有辫子天线的。

IMG_2011 看它停在那里老也不走,我就跑过去,跳上了车,不知道这车是开往什么地方的,也不知道我现在离住的旅馆有多远。

IMG_2012 木质的内部结构,很南方,上车需要一元二角五分,比三藩的叮当车便宜很多,虽然叮当车大家都逃票。这样的电车开得很慢,慢慢悠悠,慢慢悠悠,也像一只懒熊,开出了几个街区以后,灯火阑珊,担心跑得太远,所以就从后门跳下,仔细看了街道,中间是有轨电车的通路,两边分别是车道,街对过一片低矮的房子后面,隐约透露着喧哗,大概就是 French Quarter 吧,本来想过去看看,但是时间也不早了,就作罢折回。路过无数的便利店,想买些果汁回去,发现新奥尔良连 CVS, Walgreen 都卖酒,并且卖酒的同时不卖纸盒果汁,最后只好买了调鸡尾酒用的柚子汁。

街上是不是有警车闪烁着红蓝的光彩,但是不鸣警笛,这点儿很好,不吵。

顺着小街(地图上看不是小街,St Charles Ave ,但是实际上确实是小街)走回旅馆,幽暗的街道中一个穿着草绿色夹克的黑人问我要 change,我莫名其妙的对他说了一句 Good Day,然后擦肩而过。

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黄石纪游(5):被困山城、神秘的印第安人、马鹿肉

又是一大早,从 Cody 飞车到 Billings 赶飞机,早上六点出发,一路绝尘飞驰,远处的隐隐群山,近处的茫茫草场,一切沐浴在清晨微凉的日光里,目不暇给。两个多小时的路程,到了 Billings 时间尚早,很快的过了安检,在候机厅等了两个小时上飞机,开始打盹,直到被喇叭吵醒,让大家下飞机,低头就着窗户一看,飞机在原地没动 ——飞机的轮胎爆了,而 Billings 太小,没有备用的零件,所以航班取消(不会又是。。。吧^_^),只能坐第二天一大早的航班了。航空公司给了旅馆的代金券,只能在 Billings 再待一天了。

到了旅馆,住第十四层,在电梯里发现这家旅馆居然没有第十三层(从此处是无凭据的猜测:难道是因为这里民风保守,深受基督教的影响才没有第十三层的?因为印象里芝加哥、纽约、旧金山等地的高层旅馆都是有第十三层的。还有一个有趣的现象,乡间的路边有很多 Obama Stimulus Plan 的宣传标语,而这样的宣传在东部和 Midwest 也是看不到的,似乎从另外一个侧面说明了怀俄明和蒙大拿的保守,同时08年大选这里也是共和党的坚定支持者,昨天在怀俄明的 Cody 看牛仔竞技的时候,解说人也不断拿 Obama 开玩笑,并且大骂李安的《断背山》,说他侮辱牛仔——猜测结束)。不管怎样,没有十三层,那么我们的第十四层其实就是十三层了,大魔王的另外一个显圣?

叫了 Room Service,饱餐一顿,倒头便睡,知道傍晚才起来,想四处走走,空荡荡的街道,寂寥无人,连车也少见,走了一个  block,看到一处小公园,树立着本地在各次战争中阵亡者的名单,在俺们 Evanston 市中心也有一个类似的公园,不同的是这里除了一战、二战、朝鲜战争、越南战争外,还有美西战争的阵亡者名单,果然是西部啊!穿过街道,来到一处像翅膀一样横跨在十字路口的建筑(或者更准确的说,是类似一个棚子样的东西),看了介绍才知道是 Skypoint,一处可以聚会的公共场所,翅膀样的东西打开就是一个巨大的可以避风雨的顶棚。这时,突然空荡荡的街道不知道从那里蹦出来了一个印第安人。

他的名字叫做 Eagle Spirit,他拿着一副很奇怪的很抽象的画,耐心向我们解释了画里各种图形的含义,然后就把画送给了我们,并且给了我们一张手写的注释。这幅画画于2004年,其实画的挺不错的,主旨是宣扬和平,友爱以及信仰(呵呵,again,Faith)。当我和 LD 正在仔细观看这幅画的时候,那个印第安人“倏”的一下就不见了,很奇怪(又是八公的大魔王?)。

走回旅馆,惦记着顶层饭店里的 Elk (加拿大马鹿)和 Bafullo (其实就是 American Bison,美洲野牛) ,这两样动物在黄石公园很常见,看到时就下意识的咽口水,想尝尝味道如何(邪恶的人类啊,不过奇怪的是,看到别的动物譬如我家蛋花,就没有这种食欲),但是前几天奔波辛劳,到了住地,基本上饭馆都已经关门了,所以虽然听说有卖这些野味的地方,但是却无缘一尝(对于我和LD两只馋猫来说,这是一件多么让人不能释怀的事情啊!)

马鹿肉虽然是 well done 的,但是仍然有些腥,比牛肉要嫩一些;相比之下,野牛肉就粗糙了很多,并且很坚实,味道还算鲜美,这个“鲜”应该是新鲜的鲜,第一次吃马鹿肉和野牛肉。

饭店不收税(蒙大拿没有消费税,这点儿很赞),旅客也稀少,所以是个闲坐聊天的好地方,靠着窗,我们的旅馆大约是整个城市( Billings 是蒙大拿州最大的城市)最高的建筑,所以一切街市景色尽收眼底,感觉很像80年代中国中部的小城,有着蜿蜒的铁路和疲倦的货车。

希望明天飞行顺利!

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黄石纪游(4):蓝天日暖、NANA’s Jackson Hole、Rodeo

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昨天继续从西门进入黄石,由于路边的白头鹰和野牛的缘故,在路上耽搁了很久,不过在不到2米的地方看到野牛还是很新奇。第一目的地是一段可以俯瞰 Great Prismatic 的地方,从 Fairy Falls Trail 开始爬山,和 LD 挑了一座最高的山峰而不是聚集了很多人的一个土丘,一路艰险,因89年山火而倾倒的黑焦树木乱七八糟的杂陈在地上,坡度也非常的陡,但是爬到最高处,景色异常的奇美:太阳照在茵蓝的如寒玉的水面上,蒸出缕缕轻烟,真疑心李义山的“蓝田日暖玉生烟”其实说的是日照水面。

昨天下午从黄石的南门出来,顺便玩了 Great Teton,大概开始在 Beartooth Highway 已经近距离“践踏”过雪山,所以有种曾经沧海的感觉,觉得只是远观,Great Teton 也不过尔尔,当然也不会去爬它。

昨晚过了10点才赶到南边投宿的 Jackson Hole,很西部的一座城市,有鹿角做成的拱门。本来打算去吃一家很有名气的烧烤,但是10点后所有的店都一律关门,在顿时荒凉的街道上踯躅,除了酒吧,只有一间店亮着灯光,进去了也被告知已经关门,建议我们去隔壁的一爿小铺,进去了才知道居然是 Billy’s Giant Hamburger —— 所有信奉大魔王教的人(LD是,我不是,我仍然是无神论者)马上就会呼喊,这是大魔王的规定了。NANA 里那家 Jackson Hole 汉堡店即是缘起于此,所以就像八公一样品尝了 Jackson Hole 的汉堡。

今天早上继续赶路,从南门再次穿过 Great Teton 到达黄石,一路北上,去了黄石的大峡谷,看到了黄色的石头,公路两面不少野牛与夜鹿,然后匆匆的从黄石的东门出来(至此,我们一次穿越黄石的东北门,两次北门,四次西门,两次南门,一次东门,可谓穿门有术),一路山色,来到 Cody WY。 Cody 的感觉似乎比 Jackson Hole 更西部,是 Bafullo Bill 一手建立的城市,街边居然还看到了免费的西部时代的牛仔表演!在 Bafullo Bill 的 Irma Hotel 吃了很多人推荐的牛排,果然很过瘾。晚上8点看了 Cody 的 Rodeo,牛仔竞技表演,十足精彩,特别是看到只有5岁的小女孩的马术比赛,感叹良多(有关骑兵),当然最吸引眼球的还是 Cowgirls,英姿飒爽。

又是疲劳的一天,写于 Cody 的大熊旅馆:)

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黄石纪游(3):水龙吟

通常的路线,幸运的是看到了三个大喷泉的喷发,Great Fountain,Old Faithful 和 Grand,宛若水龙,雷鸣中冲天一跃,壮观!:)

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黄石纪游(2):硫烟滚滚的碧玉

又是一大早,告别 Gardiner,很可爱的一座小镇,在汹涌的河边吃了赛百味的早餐,有用 sub 的工艺做的 pizza,好久没吃赛百味了,它现在也做 pizza 了啊(并且还有早餐,我在芝加哥从来没有见过早餐赛百味)。过了黄石北门的拱门,第一站 Mammoth Hot Spring,爬 trail ,看色彩斑斓的温泉与池塘,很多池塘都干涸了,只留下了雪白的痕迹,给照相造成了极大的麻烦,背景总是觉得曝光过度(坦白的说,是我们的照相技术太差,新相机才买了没有多久),惊喜是一个叫做橘子喷泉的地方,橙色的岩石背后偷偷的喷出一股温泉,像刚打开的一瓶橘子汽水,冒着诱人的气泡。

炽热的太阳下继续构想这如何吃掉 Bilings 买的西瓜,完美的打算是找一处泠泠的山涧,把西瓜泡在里面冰得透心,然后在一块平坦洁净的青石把西瓜一刀剖开,和LD二人一人一半听着山风松涛用勺子挖着吃(在 Bilings 还买了四个勺子,ps)。所以午饭的时候到了“食羊者悬崖”(Sheepeater Cliff),有山,有水,有松树,可惜水太宽,流太急,不敢把西瓜放进去,只好坐在野餐的桌子旁规规矩矩的吃掉了一个翡翠似的西瓜,阵阵的凉风吹过松林,卷着激流的鸣声,无比的惬意。

下午去了 Norris Basin,一处看间歇喷泉的盆地,等 Steamboat Geyser 喷发,可是等了很久,也不过几米的高度,倒是有几处喷泉形成水潭,由于细菌的作用,显示出明翠的颜色,譬如 Emeral Geyser,恰似一方碧玉,但是碧玉之上却是浓重白烟,呛人的硫化物的味道。

由南转西,从黄石的西门出来到了打尖投宿的 West Yellowstone 小镇,规模要比北门和东北门外的小镇规模大很多,因此晚饭也没有像昨天那么狼狈,按图索骥的找到别人游记里提到的 Beartooth BBQ,Rib 和 牛肉都不错,餐馆里还碰到不少同胞,难道是和LD看得同一篇游记?:)

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黄石纪游 (1) :冒雨穿越雪山

一大早从纽约出发,八点多的飞机,明尼阿波利斯转机,然后飞往蒙大拿的Bilings,路上看完了可蕊的《都市妖》,又开始翻《西游记》,看到“花鸨”,又大笑,不知道是妖精的庇佑还是大圣的显灵,在 Bilings 告知原先租的 Midsize 的车已经没有,于是免费升级到 SUV,Nissan 的 Rogue,开起来感觉不错。Bilings 一路向西南,从 Red Lodge 经过著名的 Beartooth Scenic Highway,到达 Cooke,然后从黄石的东北门进入。

Beartooth蔚为壮观,山顶积雪,过了雪线开始下大雨,冒雨在海拔3300多米(GPS 给的海拔)的盘山公路上行驶,两边白雪皑皑,忍不住跳下车让 LD 拍了一张在狂风中穿着凉鞋踏雪的照片,风大的可以把人吹下山,还好没有遇到暴风雪。下山的时候放晴,绿茵茵的草地边覆盖着厚厚的积雪,融化雪水涓涓细流汇做山涧,最后流如明珠似的高山湖泊中,雪域的湖光山色。

一路很险要,但是开起来很过瘾,到了 Cooke 阴云密布,已经是傍晚,云蒸霞蔚——真切的看到大朵的云彩从山林中腾出。山中天黑的早,瞬间的事情,于是又过了一把黑夜开山路的瘾,从东北门进入黄石,漆黑的夜,远处有雷雨,闪电划过半个天空,暗红的云彩,没有人的草原,偶尔看到一两只野牛悠然的低头吃草,左转右转,上山下山,从黄石的北门开出来,到了落脚的小镇 Gardiner,已经晚上10:30,方圆几十里唯有一间狭小的铺面,10:45最后接受 order,拖着疲惫之躯买了炸虾薯条,据说是西部很典型的食物,很难吃,在 Bilings 的沃尔玛买了三个西瓜,两把尖刀,惦记了一路,最后还是没有吃成,困:)

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