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Gambler’s Fallacy?

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更新:有一个错误,算 risk-adjusted 的 payoff,其实类似于 Sharpe Ratio, significantly different from zero 没有什么实际意义,至少要 significantly 大于 1 才算是 reasonable 的 strategy :) -- July 24, 2011

三月份的时候路过拉斯维加斯去国家公园旅行,发现了一种新的自动机械轮盘赌,虽然在停留时间短暂,但是仍然在这台机器上赚了不少钱,于是想到了一个古老的问题:Gambler’s Fallacy (GF)

举个 GF 的例子,譬如一个 fair coin (这个假设很重要),如果连续仍了10次,都是正面朝上,那么当我们扔第十一次的时候,是不是更可能出现背面呢?如果你认为背面出现的概率会更大一些,这就是 GF 了,因为基础的概率学告诉我们,每次投掷都是独立事件,第十一次投掷的结果正面和背面的概率仍然是相等的。

单单看这个例子本身没有什么太大的意思,但是同时我们从统计的角度看这个问题,因为大数定理的存在(i.e. 这个 process 是 mean reversion 的,你仍的次数足够的多,你的期望值趋近于 0.5 ),那很自然就会想到,如果我们不只是简单作单次的预测下注,而是从大量重复统计的角度上下注(赌反方向),那么我们的收益会不会比纯粹 uninformed 的投注(譬如随机投注,或者只压正面)要好?

需要强调的是,我们考虑的只是投注的策略,而不是做时间序列上的预测 (forecasting),因为就预测而言,这是一个明显的白噪声过程。也就是说我们只考虑一个策略优化问题。

当然这既是一个 theoretical 的问题,也是一个 empirical 的问题,我们偷懒的只从 empirical 的角度看这个问题。

我们把问题简单化,只关注简单策略,也就说我们的策略必须是能用大脑计算的,否则即便是你通过收集这个自动机械轮盘赌的数据,发现了这个机械的 idiosyncrasy 导致投掷的结果出现统计规律,能用譬如一个 exponentially weighted moving average (EWMA) 来预测,但是你如果不能快速心算出你的策略,这也是没有什么实际意义的。

我们考虑三种策略,前两种是 uninformed 的,也就是说策略是独立于你新获取的信息的,最后一种是 informed的,策略是基于新获取的信息的。

第一种策略称之为 Odd Even Strategy (OES),顾名思义,就是第一压正,第二次压反,第三次压正,重复直到赌博结束;

第二种策略称之为 Straight Bet Strategy (SBS),也就是不管怎样,都只压正(或者压反);

第三种策略称之为 Looking Back Strategy (LBS),每次压住前往前看 m 个 periods,given 一个 threshold value rho (0.5<rho=<1), 如果这 m 个 periods 的 average 大于 rho, 则压 1 (譬如 1 表示正面),对称的,如果 average 小于 1-rho,则压 0。 如果条件不满足,什么都不压。假定 m =10,我们向前追朔10个periods (同时也符合一般轮盘赌提供的历史数据),利用一些简单的optimization 和 calibration,  大概估算 rho= 0.618。

假设我们玩1000次,下注的时候每次下注 $1 ,我们的赌本是 $1000,三种策略的收益如下图:

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上图的收益并不能说明什么,只是一个 realization,但是相对而言,第三种策略的标准方差相对比较小,原因之一是因为第三种策略并不是每次都下注,如果把图放大其实可以看到蓝色线条有很多“平顶”,这是不下注的时候。

基于这三种策略,我们作一个简单的蒙特卡洛模拟,结果见下表:

  n=10^4 n=10^5  
  r-adj payoff sd r-adj payoff sd
 OES -0.01797056 0.02302582 -0.006824031 0.007238402
SBS -0.03311233 0.02290396 -0.01122852 0.007258676
 LBS 0.1144682 0.02278219 0.1226927 0.00721828

 

上面提到 r-adj payoff 指的是 risk-adjusted final net payoff, 它是用每1000次轮盘赌的最终净收益除以这1000次轮盘赌收益的标准方差得到的(类似计算 Sharpe Ratio 的算法),n=10^4 是1万次模拟的结果,n=10^5 是10万次模拟的结果。模拟的结果说明:

  1. Uniformed 的策略(OES,SBS)的风险调整净收益都不 significantly different from zero (at 5% significance level)。这和理论的预期是符合;
  2. Informed 的策略(LBS) 的风险调整净收益是正的并且significantly different from zero。

也就是说这样简单的informed的策略是能够带来正收益的。注意这个策略只是告诉你什么时候下注,和如何下注,把它和其他一些特定的投注策略(譬如 modified  martingale betting strategy)结合,应该能够提供一些可观的收益,所以我们在拉斯维加斯赢的钱也不完全是运气。

这个结果同时一些 empirical observation 项符合:1)这种机器不是在每个赌场都有,只有拉斯维加斯的 MGM才有;2)这个机器前排队的人很多;3)这个机器很容易坏。

离我们的比较近的 Atlantic City 没有这种机器,所以在那里赌博,只能靠运气了,不过上周的运气不错:

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哈哈,这样的小概率都让我撞上了,狗屎运:)

P.S. 这个问题也有很广泛的意思,譬如股票交易,比较 liquid 的股票的 log return 几乎肯定是一个白噪声(Fama 的 Efficient Market Theory,呵呵,不知道他什么时候能得诺奖),如果我们有 high frequency data,我们能否有一些策略,通过白噪声的 mean reversion 来获利?猜测是由于 transaction cost 的存在(bid-ask spread, commission fees) 上述 payoff 可能会小于零,因此没有太大的现实意义,但是赌博可以一试。

P.S. 希望上述的运算和模拟里面没有错误,有空会验算一下:)

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