贝叶斯

刚刚读到桑林志转帖的一篇 blog，关于专家的公信力，他转引了一段很意思的话：

至于说转基因粮食是否安全，你得去问专家，而不是韩寒 … … 如果一个国家的所有专家都失去了公信力，国民遇到任何事情都不信专家，却对一个赛车手的话言听计从，那这个国家也就没救了，Let It毙吧。

专家的存在是因为信息不对称，由此想到一个很有意思的问题：有公信力的专家未必是讲真话的专家。举一个很简答的例子就能说明。以转基因食品为例，假设有两种概率相同的可能：{转基因食品有害，转基因食品无害}，前者用 0 表示，后者用 1 表示,并用 s 表示这两种可能的结果 i.e. s \in {0,1} 并且 Pr(s=0)=1/2；假设专家有能力得知 s, 但是专家也不是万能的，也有犯错的时候，假设他正确的几率是 p，并且 p>1/2 也就是说专家大部分情况下还是对的。好的专家说实话，坏的专家（譬如替利益集团说话的专家）总倾向于宣布 s=1 （转基因食品无害）。老百姓并不知道一个专家是好专家，还是坏专家，对于某个专家而言，老百姓认为他是好专家的概率是 q ，这个 q 就是公信力 （也就是说这个专家的可信度）。在专家作出判断之后，这个判断是可以被时间证实的（譬如，随着时间的流逝，慢慢的大家对于转基因食品是否有害有了更清晰的认识）。

现在，假设一个好专家（当然老百姓不确定他是不是一个好专家）宣布 s=1 （转基因食品无害），并且事实证明转基因食品确实无害，那么这个好专家的公信力会上升还是会下降呢？（i.e. q 是会增加还是会减小？），很不幸是，这个说真话的好专家，他的公信力会降低，即便是他的话被证明是正确的。这是一个很简答的贝叶斯更新：

事实是 s=1且好专家宣布 s=1 的概率是 p ；事实是 s=1 且坏专家宣布 s=1的概率是 p+(1-p)*c，之所以有 (1-p)*c 这一项是因为坏专家在事实是 s=0 的情况下也有可能宣布 s=1，换言之，坏专家宣布 s=1 的概率总是要高于好专家，那么，根据贝叶斯法则，这件事情过后好专家的公信力q*：

(q*|专家宣布s=1,事实证明 s=1)= q*p/(q*p+(1-q)*(p+(1-p)*c)<q

也就说好专家的公信力反而下降了。同样的计算，如果一个专家明知 s=1 却宣布 s=0，尽管后来事实证明 s=1，这个专家撒了谎，但是他的公信力却是上升的。

不用贝叶斯法则，仅用简单的逻辑也能说明这个问题：因为坏专家总是倾向于宣布转基因食品无毒，因此如果一个专家宣布转基因食品无毒，不管后来事实证明转基因食品是否有毒，他都更可能是一个坏专家，他的公信力会下降。同样的，不管转基因食品是否有毒，如果一个专家一味的宣布转基因食品有毒，那么他的公信力一定会上升，尽管他是在撒谎，或则他只是单纯的无知。

所以，有公信力的专家未必是好专家，很有可能只是他比较在乎自己的公信力而已，他的话是不包含任何有用信息的。换言之，当一个专家或者科学家开始关心自己的公信力的时候，他已经不可能成为一个真正诚实的专家或者科学家了。。。因此有时候会觉得公共知识分子这个概念很滑稽。。。

一切都是因为消除不去的不对称信息，我们的世界是不完美的。

脚注：【1】文中例子的原型来源于： Morris, Stephen “Political Correctness” The Journal of Political Economy, Vol. 109, No. 2 (Apr., 2001), pp. 231-265

【2】 我不知道转基因食品是否有害，文中的例子只是假设