C++

(-1)^(1/3):从 C++ 到傅立叶变换

image 一直好奇一个关于 power function 算法的问题,直到自己动手写 power function。

在不同的编程语言里,遇到过同一个问题:(-1)^(1/3) 是多少。 很显然,在实数集里,这个表达式是有意义的,正如右图 Google Calculator 给的结果,在实数集里,它等于 -1。但是在很多编程语言的实数集运算中,这个表达式是无意义的。

譬如在 C++ 里,用 cmath library, 当你计算 (-1)^(1/3) 时,你得到输出结果是:

 -1.#IND 

C#里,用 System.Math, 作同样的计算,得到的输出结果:

NaN

R 里,不使用复数集,得到的结果也是一样的:

[1] NaN

同样的在 VBA 里,如果不 call Excel的 power function ( i.e. Application.WorksheetFunction.Power) ,而是直接使用 ^, 得到的结果仍然是 run-time error. 其它的编程语言也类似。

复数集中,如果用 MATLAB, 得到的结果:

 0.5000 + 0.8660i

Maple,结果:

.5000000001+.8660254037*I

R 的复数集(i.e. as.complex(-1)^(1/3)),得到的结果:

[1] 0.5+0.8660254i

很显然,所有的语言的 power function 用的是同一种算法。这种算法无法得到实数解,而复数解得到是同一个数值。因为 power function 太基本,虽然有疑问,但是也没有过多的想这个问题,直到后来用 Q

Q 的语法和 C++/C#/JAVA,或者 MATLAB/R/MAPLE 都不太一样,"^" 符号的定义和 C++/C# 相同,不是 power function。刚开始用的时候,不知道 Q  的 power function 是 xexp,觉得 power function 又不难,自己写一个吧,但是真正开始写,却又卡壳了:(int,int) 的函数好写,那 (double, double) 的呢?

拿出算法圣经《 Numerical Recipe 》(第三版),但是却发现它没有给出 power function 的算法,大概是太基础了吧,所以自己又想了一下,幸亏 Q  里的 log 和 exp 还是 logexp,后来就想到用

exp(y*log(x)) = exp(log(x^y)) = x^y

来定义 power function,解决非整数的问题。这样的以来,一般的问题都解决了,但是因为用到了 log(x) , x 的值必须非负(0 的问题可以很简单的处理),所以一旦 x<0,这个算法就不适用了 —— 这时才突然的想到莫非上面的那些问题的症结正在此?实数集的问题是由于 log(x), x<0 在实数集里无定义,那复数集呢?在 MATLAB 里试了

>> exp(1/3*log(-1))
ans =
   0.5000 + 0.8660i

果然是这样的。所有的算法都依赖于 log 函数来获得 power 函数的值,这导致了上述问题在实数集无定义,而在复数集因为 log(-1)  =  3.1416i  这个默认值,导致了 0.5000 + 0.8660i  这个结果。

但是问题还没有结束。看到 log(-1),自然想到了 2*log(i), 然后自然而然的想到傅立叶变换里常用的 trick 可以解出 log(-1)的一般表达式(为了省事儿,下面用 LaTex写了):

image

有了 log(-1)的通解,我们可以让 power function 获得任意 x^y, x<0 的所有解。譬如 (-1)^(1/3)简单测试一下,在 MATLAB 里,

x=2*i*(pi/2+2*(-3:3)*pi)
exp(1/3*x)

得到:

x =
        0 -34.5575i        0 -21.9911i        0 - 9.4248i        0 + 3.1416i        0 +15.7080i        0 +28.2743i        0 +40.8407i
ans =
   0.5000 + 0.8660i   0.5000 - 0.8660i  -1.0000 - 0.0000i   0.5000 + 0.8660i   0.5000 - 0.8660i  -1.0000 + 0.0000i   0.5000 + 0.8660i

结果里面包含了它的所有三个解。因为当 x<0, x^y = (-1)^y*(|x|)^y,所以只要有 (-1)^y ,就可以得到任何负数的 power function ( exp(a+bi)也可以用上面的方法转化成三角函数来解)。

上面的长篇累牍都起源于一开始的时候不知道 Q 的 power function 是 xexp,但是如果不是自己去写 power function,恐怕也没有机会搞明白 (-1)^(1/3) 这个简单的问题,俗谚云:“看人挑担不吃力,事非经过不知难。”诚哉:)

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Exception Handling & OOP in R

image大概不同的学科会造就不同的思考方式,记得若干年前和LD走在加州 Albany (伯克利附近)有些破败的马路上,突然在一片空地上看到两只狗,LD脱口而出“两只”,我也脱口而出“活的”。所以LD是学理的,我是学文的。

又好比为称赞人,学文的也许会顺口说道:“东陵虽五色,不忍值牙香。”,学理的会问:“这是说啥的?”;学文的会说:“这说的是瓜,用来称赞你的。”;学理的说:“这不是在骂人瓜娃子吗?”。。。学文的会暗自庆幸没有说:“浪乘画舸忆蟾蜍,月娥未必婵娟子”(“姮娥遂託身于月,是为蟾蜍”——张衡·《灵宪》)。

编程语言也是一样,不同之处是 epistemology 上的 (大概也只有学文科的人才会把 ontology, epistemology 这些东西挂在嘴边),就好比接触 C++ 以前从来没想到过 R 的程序可以如此这般如此这般的来写:例如以前从来没有想过 R 里的 (line by line ) debugging,  exception handling , 以及 OOP 之类的东西。一个简单的例子,譬如突然想大致画一下任意股票期权的 volatility skew。

纯粹(旧的) R 式的写法:

   1:  library('quantmod')
   2:  library('RQuantLib')
   3:  x <- getOptionChain("AAPL",Exp ="2011-07-16")
   4:  optionVal <- as.numeric(x$calls[,2])
   5:  strike <- as.numeric(x$calls[,1])
   6:  getSymbols("AAPL",src="google")
   7:  n <- length(strike)
   8:  mtrty<-businessDaysBetween(from=Sys.Date(),to=as.Date("2011-07-16"))/252
   9:  under<-Cl(AAPL)[nrow(AAPL)]
  10:  imvol <- array(NA,n)
  11:   
  12:  for ( i in 1:n){
  13:  imvol[i]=EuropeanOptionImpliedVolatility("call", optionVal[i],under,strike[i],0,0.02,mtrty,0.2)$impliedVol
  14:  }

quantmod library 提供了直接从 Google, Yahoo 等来源读取金融数据的接口,RQuantLib library 是 QuantLib 在 R 里的 port。 imvol 是一个vector, 用来储存数值算法得到 implied volatility,但是因为这只是一个粗略的计算,数据中存在着一个很大的问题:underlying 的数据和 derivative 的数据不是 synchronous 的(high frequency 数据常有的一个问题),某个 strike 的 derivative 交易的频率比较低,所以它的价格滞后,不能体现出它的真正市场价格。也是因为这个问题的存在,我们在运行这段 code 时候很快就出现错误: 

   1:  Error in EuropeanOptionImpliedVolatility.default("call", optionVal[i],  : 
   2:    root not bracketed: f[1e-007,4] -> [2.533890e+000,6.291277e+001]

因为 derivative 的价格和 underlying 的价格不是 syn 的,所以合理的 implied vol 的数值解不存在。程序因此中断,如果看 imvol 这个 vector:

[1] 1.331497 1.250151 1.481016       NA       NA       NA       NA       NA       NA
[10]       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA
[19]       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA
[28]       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA
[37]       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA
[46]       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA
[55]       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA
[64]       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA       NA
[73]       NA       NA       NA       NA       NA

只有三个有效值,后面的值全是 initialize 的 missing values。按照旧的方法,debug 找出出现问题的地方,逐一处理,但是这样很麻烦,有时候也没有必要。所以就想到借鉴 C++ exception handling 的 try - catch方法,如果出错,我们 throw 一个 exception,然后继续其余部分的 code。R 里面也有类似的方法,所以我们可以重新写这个 loop:

   1:  for ( i in 1:n){
   2:    result<-try(EuropeanOptionImpliedVolatility("call", optionVal[i],under,strike[i],0,0.02,mtrty,0.2),silent =TRUE)
   3:    if(class(result) =="try-error") next
   4:    else {imvol[i]=EuropeanOptionImpliedVolatility("call", optionVal[i],under,strike[i],0,0.02,mtrty,0.2)$impliedVol}
   5:  }

在上面的 code 里我们作了一个简单 exception handling,先 try implied volatility 的数值解,把结果定义为一个叫做 result 的 object,如果出错,那么 result 应该属于 try-error 这个 class,所以我们作一个简单的判断,如果出错了,就直接 next 跳过。最后我们的 imvol vector 是:

[1] 1.3314972 1.2501506 1.4810157        NA        NA        NA 1.0397009        NA
 [9]        NA 1.0749333        NA 0.9936863        NA        NA 0.7165703        NA
[17]        NA        NA        NA 0.4677549        NA        NA        NA 0.5650445
[25]        NA        NA 0.4720218 0.2539875 0.3110036 0.2952723 0.2441016 0.2276886
[33] 0.2379125 0.2209396 0.2250593 0.2162720 0.2144386 0.2117865 0.2078974 0.2044520
[41] 0.2014596 0.1984621 0.1990857 0.1978392 0.1984587 0.1999078 0.2007216 0.2027609
[49] 0.2042993 0.2119021 0.2126273 0.2281725 0.2231475 0.2280039 0.1892973 0.2453698
[57] 0.2485359 0.3305246 0.3448491 0.2755123 0.2963304 0.3480423 0.3299750 0.3087564
[65] 0.3814543 0.3350278 0.3369351 0.4618993 0.3985197 0.3226662 0.4635653 0.3968701
[73] 0.3984441 0.4608958 0.3962065 0.4239336 0.4901043

尽管中途出错,但是仍然不会中断我们的 loop。

更进一步,我们可以像 C++ 一样在 R 里定义 class 和 相应的 method,从而进一步提高 code 效率(主要是 reusability ,这也是 OOP 的主要目的之一)。R 里有两种定义 class 的方式,一种旧的 S3 class,一种是新的 S4 class。 这里用 S3 作为例子,我们首先定义一个 impvol class 和它的 constructor:

   1:  impvol<-function(tick, exp="2011-07"){
   2:    getSymbols(tick,src="google",from=Sys.Date(),to=Sys.Date())
   3:    under <- as.numeric(Cl(get(tick)))
   4:    x <- getOptionChain(tick,Exp =exp)
   5:    optionVal <- as.numeric(x$calls[,2])
   6:    strike <- as.numeric(x$calls[,1])
   7:    option<-cbind(strike,optionVal)  
   8:    impvol<-list(tick=tick,
   9:              exp=exp,
  10:              under=under,
  11:              option=option)
  12:    class(impvol)<-"impvol"
  13:    return(impvol)
  14:    }

R 的 class 的定义和 C++ 还是有区别的,在 R 的 class 里面,我们只定义了它的 member variables ( tick, exp, under, option ),和它的 default constructor.  它的 method 并没有在 class definition 里 declare。定义了这样一个class 之后,我们就可以方便的获取任意stock 的数据了,譬如:

   1:  s1 <- impvol("F")

我们初始化一个关于福特的 impvol class 的object,把它定义为 s1 ,然后我们得到:

   1:  > s1
   2:  $tick
   3:  [1] "F"
   4:   
   5:  $exp
   6:  [1] "2011-07"
   7:   
   8:  $under
   9:  [1] 14.18
  10:   
  11:  $option
  12:        strike optionVal
  13:   [1,]     10      4.30
  14:   [2,]     11      3.30
  15:   [3,]     12      2.25
  16:   [4,]     13      1.35
  17:   [5,]     14      0.62
  18:   [6,]     15      0.21
  19:   [7,]     16      0.08
  20:   [8,]     17      0.03
  21:   [9,]     18      0.01
  22:  [10,]     19      0.02
  23:  [11,]     20      0.01
  24:   
  25:  attr(,"class")
  26:  [1] "impvol"
  27:  > 

上面列出了 s1 的 member variables,它包含 tick(是string obj),exp(是date obj),under(是 numeric obj),option (是 matrix),它的属性是 impvol object。借助于 class,我们可以很轻松的获取任意的股票数据。注意我们这个 class 其实是从  list 这个 class 的 derived,所以作为 derived class,就像 c++ 的inheritance 一样,它也具有 list 的属性。

然后我们定义 method,这里主要是作图,画implied volatility,这里也和 c++ 类似,我们需要 overload 一个已存在的函数 plot():

   1:  plot.impvol<- function(x, ...){
   2:    n <- nrow(x$option)
   3:    mtrty<-businessdaysbetween(from=sys.date(),to=as.date("2011-07-16"))/252
   4:    imvol <- array(na,n)
   5:    for ( i in 1:n){
   6:    result<-try(europeanoptionimpliedvolatility("call", x$option[i,2],x$under,x$option[i,1],0,0.02,mtrty,0.2),silent =true)
   7:    if(class(result) =="try-error") next
   8:    else {imvol[i]=europeanoptionimpliedvolatility("call", x$option[i,2],x$under,x$option[i,1],0,0.02,mtrty,0.2)$impliedvol}
   9:  }
  10:  result<-cbind(x$option[,1],imvol)
  11:  plot(result,col="2",main=paste("implied vol of", x$tick),xlab="strike",ylab="implied vol",xaxt = "n")
  12:  axis(1,at=x$option[,1],labels=t)
  13:    }

因为 plot 是一个 generic function, 我们用 plot.impvol 来 overload 它,注意在我们的 plot 函数里,我们实际上先计算了它的 implied vol。检视我们的 class 的method:

   1:  > methods(class="impvol")
   2:  [1] plot.impvol

测试我们的 method:

   1:  s1 <- impvol("f")
   2:  s2 <- impvol("goog")
   3:  s3 <- impvol("aapl")
   4:  s4 <- impvol("c")
   5:  par(mfrow=c(2,2))
   6:  plot(s1)
   7:  plot(s2)
   8:  plot(s3)
   9:  plot(s4)

我们得到下面的 vol skew的 plot:

image

x 轴每一个 tick mark 都是一个 strike,如果那个 strike 对应的 implied vol 是 na,plot 自动就把那个数据点 drop 了。以 google 和 apple 为例,我们发现 deep ITM 的 call option 的 implied vol 有很多 missing values,并且还有异常的数值,其中的原因就是我们上面说的 liquidity 和 trading frequency的问题。最后一个 citi 的图,strike 在 $1 附近还有数据点,更能说明这个问题:这个数据源里还包括了citi并股前的数据。

OOP 大大简化了 R 的编程,所以学习 C++ 其实同时也很有助于 R 的使用,就像学点儿数学对于文科生也很有帮助一样:)

P.S. 因为编辑 CSS 出错,导致后半篇的字母全部被转化为小写 =_= 。

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