(-1)^(1/3):从 C++ 到傅立叶变换

  • Posted on: 17 January 2012
  • By: kzeng

image 一直好奇一个关于 power function 算法的问题,直到自己动手写 power function。

在不同的编程语言里,遇到过同一个问题:(-1)^(1/3) 是多少。 很显然,在实数集里,这个表达式是有意义的,正如右图 Google Calculator 给的结果,在实数集里,它等于 -1。但是在很多编程语言的实数集运算中,这个表达式是无意义的。

譬如在 C++ 里,用 cmath library, 当你计算 (-1)^(1/3) 时,你得到输出结果是:

 -1.#IND 

C#里,用 System.Math, 作同样的计算,得到的输出结果:

NaN

R 里,不使用复数集,得到的结果也是一样的:

[1] NaN

同样的在 VBA 里,如果不 call Excel的 power function ( i.e. Application.WorksheetFunction.Power) ,而是直接使用 ^, 得到的结果仍然是 run-time error. 其它的编程语言也类似。

复数集中,如果用 MATLAB, 得到的结果:

 0.5000 + 0.8660i

Maple,结果:

.5000000001+.8660254037*I

R 的复数集(i.e. as.complex(-1)^(1/3)),得到的结果:

[1] 0.5+0.8660254i

很显然,所有的语言的 power function 用的是同一种算法。这种算法无法得到实数解,而复数解得到是同一个数值。因为 power function 太基本,虽然有疑问,但是也没有过多的想这个问题,直到后来用 Q

Q 的语法和 C++/C#/JAVA,或者 MATLAB/R/MAPLE 都不太一样,"^" 符号的定义和 C++/C# 相同,不是 power function。刚开始用的时候,不知道 Q  的 power function 是 xexp,觉得 power function 又不难,自己写一个吧,但是真正开始写,却又卡壳了:(int,int) 的函数好写,那 (double, double) 的呢?

拿出算法圣经《 Numerical Recipe 》(第三版),但是却发现它没有给出 power function 的算法,大概是太基础了吧,所以自己又想了一下,幸亏 Q  里的 log 和 exp 还是 logexp,后来就想到用

exp(y*log(x)) = exp(log(x^y)) = x^y

来定义 power function,解决非整数的问题。这样的以来,一般的问题都解决了,但是因为用到了 log(x) , x 的值必须非负(0 的问题可以很简单的处理),所以一旦 x<0,这个算法就不适用了 —— 这时才突然的想到莫非上面的那些问题的症结正在此?实数集的问题是由于 log(x), x<0 在实数集里无定义,那复数集呢?在 MATLAB 里试了

>> exp(1/3*log(-1))
ans =
   0.5000 + 0.8660i

果然是这样的。所有的算法都依赖于 log 函数来获得 power 函数的值,这导致了上述问题在实数集无定义,而在复数集因为 log(-1)  =  3.1416i  这个默认值,导致了 0.5000 + 0.8660i  这个结果。

但是问题还没有结束。看到 log(-1),自然想到了 2*log(i), 然后自然而然的想到傅立叶变换里常用的 trick 可以解出 log(-1)的一般表达式(为了省事儿,下面用 LaTex写了):

image

有了 log(-1)的通解,我们可以让 power function 获得任意 x^y, x<0 的所有解。譬如 (-1)^(1/3)简单测试一下,在 MATLAB 里,

x=2*i*(pi/2+2*(-3:3)*pi)
exp(1/3*x)

得到:

x =
        0 -34.5575i        0 -21.9911i        0 - 9.4248i        0 + 3.1416i        0 +15.7080i        0 +28.2743i        0 +40.8407i
ans =
   0.5000 + 0.8660i   0.5000 - 0.8660i  -1.0000 - 0.0000i   0.5000 + 0.8660i   0.5000 - 0.8660i  -1.0000 + 0.0000i   0.5000 + 0.8660i

结果里面包含了它的所有三个解。因为当 x<0, x^y = (-1)^y*(|x|)^y,所以只要有 (-1)^y ,就可以得到任何负数的 power function ( exp(a+bi)也可以用上面的方法转化成三角函数来解)。

上面的长篇累牍都起源于一开始的时候不知道 Q 的 power function 是 xexp,但是如果不是自己去写 power function,恐怕也没有机会搞明白 (-1)^(1/3) 这个简单的问题,俗谚云:“看人挑担不吃力,事非经过不知难。”诚哉:)

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